胡克定律：从弹簧振子到声强 I 的推导

2026-09-04 · 归档于对话查询 · 来源：统编教材《超声检测(第2版)》第2章

结论胡克定律（Hooke's law）：在弹性限度内，材料的变形量与所受外力成正比。两种等价表述：

在超声检测教材中，它出现在两处：谐振动的定义（弹簧振子回复力）和声强 I 的推导（弹性位能换算）。

图1 胡克定律的弹簧表述（F = −Kx）

图1 弹簧振子的三种状态。回复力方向永远与位移相反、指向平衡位置，大小与位移成正比——这就是 F=−Kx。受这种回复力作用的振动就是谐振动（简谐波的基础）。

图2 左：声波传到体积元，介质发生弹性变形 Δy；右：用胡克定律把"弹簧"的 K 换成材料属性 ES/Δx，弹性位能就能用 E、ρ、c 表达，最终推出 I = ½ρcA²ω² = P²/2Z。

W_p = ½K(Δy)²　→（胡克定律 K=ES/Δx）→　W_p = ½ES·Δx·(Δy/Δx)²

再代入 E=c²ρ（细棒纵波声速公式 c=√(E/ρ) 反推）和应变 (Δy/Δx)=Aω/c·sinω(t−x/c)，得 W_p = ½ρΔVA²ω²sin²ω(t−x/c)——与振动动能 W_k 形式完全相同。

I = ½ρcA²ω² = ½Zu² = P²/2Z

声强三兄弟公式。Z=ρc 是声阻抗，u 是质点振动速度，P 是声压。

声强 I ∝ 频率平方（ω²）——超声波频率远高于可听声，所以声强极大（可达 10³ W/cm²，是大炮声强 10⁻⁴ W/cm² 的 10⁹ 倍），这是超声能用于检测的能量基础。
同一介质中 I ∝ P²（声压平方）——分贝公式 Δ=20lg(P₂/P₁)=10lg(I₂/I₁) 的来源。
谐振动定义：回复力与位移成正比、方向相反（即满足胡克定律的回复力）作用下的振动。弹簧振子是最典型模型。
波动与振动能量差异（易错）：介质体积元的动能、势能同时最大、同时为零，不符合机械能守恒（质点间有摩擦力）；单独振动系统才是动能势能互相转化、总和守恒。

勘误教材OCR版此处公式印为 "F = ES/Δx = Δy"，系断句/识别错误。正确关系是 F = (ES/Δx)·Δy，即应力 σ=F/S 与应变 ε=Δy/Δx 成正比：σ=Eε。物理含义不变：弹力与变形成正比。

记忆口诀弹限之内力随变，力与伸长成正比；弹簧看 K，材料看 E；负号一回指平衡，谐振就靠它撑腰。

全国特种设备无损检测人员资格考核统编教材《超声检测（第2版）》郑晖、林树青，第2章：2.4谐振动（弹簧振子回复力 F=−Kx）、2.5.3声强I（K=ES/Δx 推导）
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